MATEMÁTICA II

Docente: Mariano Papaianni

Horario: MARTES 18:20 A 19:40 HORAS / MIERCOLES 19:40 A 22:20 HORAS / VIERNES 19 A 20:20 HORAS

PROGRAMA

Objetivos

Durante el curso se irán planteando propuestas de trabajo que permitan “encontrar” a la Matemática en problemas cotidianos, y de esta manera que los estudiantes adquieran herramientas de resolución.

Contenidos

●     Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS - Números naturales y enteros, propiedades. Conjunto de números racionales, expresión decimal, fraccionaria y porcentual.

●     Unidad 2: LENGUAJE ALGEBRAICO - Letras y números juntos. Interpretación de problemas escritos de forma literal, pasaje a expresión matemática. Ecuaciones.

●     Unidad 3: FUNCIONES - Noción intuitiva, relación entre un conjunto de entrada y otro de salida. Proporcionalidad.

Presentación

¡Hola, estudiantes de segundo ciclo! Soy Mariano, los estaré acompañando en este nuevo curso de Matemática.

¿Dónde está presente la Matemática?

Es común pensar que la Matemática es una ciencia abstracta, difícil, que se estudia solo desde los libros, y que cuesta relacionarla con los problemas reales y habituales. 

En este curso haremos un camino diferente, en lugar de aprender y luego aplicarla, primero buscaremos casos cotidianos en los que tengamos que usar la disciplina, para después estudiarla.

Propuesta de trabajo

La propuesta de trabajo es aplicar los contenidos resolviendo situaciones cotidianas.

Algunos problemas típicos que vamos a analizar son:

●     ¿Cuántos metros cuadrados de pared rinde un metro cúbico de ladrillos común?

●     ¿Cómo calcular los costos si quiero vender comida hecha?

Actividad

Te propongo que pienses alguna actividad o situación cotidiana en la que te gustaría aplicar la Matemática, puede ser una profesión, un deporte, etcétera. Algunos ejemplo son:

●     Cocina

●     Construcción

●     Electricidad domiciliaria

●     Fútbol

●     Costura

Luego te pido que vayas pensando, según tu tema elegido, en qué situaciones interviene la Matemática.

Repaso

Durante las primeras clases vamos a repasar temas que trabajaron en cursos anteriores, es importante que traten de resolver las actividades en tiempo, de forma sincera y hagan todas las preguntas que necesiten, de esta forma manera

Regla de tres simple

Es un método de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y otro desconocido. Veamos qué significa esto:

●     Proporcionalidad:es una relación fija entre dos cantidades, por ejemplo: “con 1 kilo de harina podemos hacer 4 pizzas, con 2 kilos 8 pizzas, con 3 kilos 12 pizzas, etcétera” 

●     Tres valores conocidos: son los datos numéricos que nos proporciona el problema.

●     Valor desconocido: el valor que que queremos calcular.

Veamos unos ejemplos:

1)    Si necesito 120 ladrillos comunes para construir 2 metros cuadrados de pared, ¿cuantos ladrillos necesito para construir 5 metros cuadrados?

Lo primero que tenemos que hacer identificar los datos:

            120 ladrillos

            2 metros cuadrados

            5 metros cuadrados

Ahora debemos ordenar los datos de la siguiente manera:

2 metros cuadrados → 120 ladrillos

5 metros cuadrados → X ladrillos

(Observen que en en cada columna van datos el mismo tipo, en este caso la primera columna contiene valores de metros cúbicos y la seguna cantidad de la ladrillos. NO SE PUEDEN MEZCLAR DATOS EN LAS COLUMNAS. También, es conveniente la columna que contiene el valor faltante ubicarla en la derecha).

AHora para resolver tenemos que tomar el valor inferior izquierdo y multiplicarlo por el valor superior derecho, luego dividir ese producto por el valor superior izquierdo, veamos la imagen:

En este caso el cálculo es:

5 x 120 = 600

y luego

600 ÷ 2 = 300

La respuesta es 300 ladrillos.

2)    Si para hacer 4 panes estilo de campo utilizamos 2 kilogramos de harina, ¿cuántos kilogramos de harina necesitamos para hacer 24 panes?

Datos:

            2 kilogramos de harina

            4 panes

            24 panes

Planteo:

4 panes         → 2 kilogramos de harina

24 panes       → X kilogramos de harina

Cálculo es:

24 x 2 = 48

y luego

48 ÷ 4 = 12

La respuesta es 12 kilogramos de harina.

Actividad

Resolver los siguientes ejercicios:

1)    Para realizar una mezcla de albañilería si utilizamos 3 bolsas de cemento debemos agregar 108 balde de arena. ¿cuantas bolsas de cemento necesitar para 180 baldes de arena?

2)    Tomando los datos del problema anterior ¿cuántas baldes de arena necesito para mezclar con 3 bolsa de cemento?

3)    En un comercio compraron en el mayorista 2 cajas de paquetes de fideos y gastaron $760, si para el segundo mes disponen para gastar $1900 ¿cuantas cajas podrán comprar?

4)    Si para hacer 9 budines utilizamos 3 kilogramos de harina, ¿cuántos kilogramos de harina necesitamos para hacer 21 budines?

Nota: enviar las respuestas al blog indicando:

●     Materia: Matemática 2

●     Nombre y apellido:

●     Fecha:

Si tienen dificultades para escribir los cálculos en el formato blog, pongan los resultados numéricos e incluyan una breve descripción de cómo resolvieron cada ejercicio.

Por ejemplo: “el resultado del problema es 300, lo obtuve multiplicando 5 por 120 y después dividiendo por 2”.

Conjuntos numéricos

Un conjunto es un grupo de elementos que tienen características en común, es decir un motivo que los une. Dentro de los conjuntos numéricos tenemos:

●     Números Naturales: es el conjunto más simple, contiene los números que nos permiten contar, por ejemplo: 1; 2; 3; …; 10; 11; 12. Se llaman naturales por ser el primer grupo de números que utilizaron las personas, antiguamente para contar ganado.

●     Números Enteros: contiene a los números naturales, e incorpora al 0 y a los naturale negativo. Ejemplo: -5; -2; 0; 1; 10; 15.

Números Racionales

Son todos los números que pueden representarse por cociente (división) de dos números enteros, también llamados fraccionarios. Permiten representar valores “intermedios” entre enteros, ejemplo: -2,5; ¾; ½; 1,5.

Expresión de Números Racionales

Los números racionales se pueden representar mediante una fracción o de forma decimal:

●     Expresión fraccionaria: representa la división entre dos números enteros separados por una barra o línea.

●     Expresión decimal: para escribir un fracción en forma de número decimal, se escribe el numerador y se separan con una coma, hacia la derecha, tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador. Si es necesario se añaden ceros. En la próxima clase veremos qué ocurre cuando en el numerador no hay un uno seguido de ceros.

Haciendo el camino inverso podemos pasar un número expresado de forma decimal a representación fraccionarias:

Escribimos en el numerador el valor sin el cero, en este caso 25. En el denominador colocamos un 1 y tantos ceros por cada cifra decimal, en este caso 2.

       

Actividad

Pasar las siguientes fracciones a expresión decimal:

1)    128 / 100

2)    34 /10

3)    - 5 /10

4)    345 / 10

5)    7 /1000

Pasar los siguientes números a expresión fraccionaria:

6)    0,125

7)    1,85

8)    45,18

9)    - 3,45

10) 0,74

Nota: enviar las respuestas al blog indicando:

●     Nombre y apellido:

●     Fecha:

Para representar las fracciones escriban el valor del numerador, luego la barra / y por último el valor del denominador.

Por ejemplo: para  ½ pueden escribir 1/2.

Lenguaje Algebraico

En esta clase trabajaremos en las diferentes expresiones de situaciones:

●     Lenguaje literal: a veces llamado lenguaje coloquial, describe mediante palabras y oraciones, diferentes situaciones en las que interviene la matemática.

●     Lenguaje algebraico: también lo podemos llamar lenguaje matemático o simbólico, consiste en escribir mediante números, y a veces algunas letras, las expresiones literales.

Ejemplos:

Para poder resolver problemas en los que interviene la Matemática tenemos que expresar las ideas que están en lenguaje coloquial en el algebraico.

Actividad

Pasar las siguientes expresiones a lenguaje algebraico:

1)    La adición entre nueve y quince.

2)    La mitad de veinticinco.

3)    El triple, de cinco menos dos.     

4)    El triple de cinco, menos dos.

5)    El número ocho más su consecutivo.

6)    El quíntuple de dos, menos tres.

7)    El mes pasado el paquete de harina costaba $50, ahora aumentó al doble.

8)    Los tres números consecutivos de diecinueve.

Solo hagan las expresiones algebraicas, no hace falta resolverlas.

Lenguaje Algebraico (segunda parte)

Claves que ayudan a interpretar y resolver un problema matemático:

1)    Lectura comprensiva: lean los enunciados tantas veces como se necesario, el objetivo es comprender y no resolver rápido.

2)    Explicar el problema con tus palabras:poder verbalizar el problema implica reflexionar, ojo que esto no pretende que se acuerden el problema y lo reciten de memoria.

3)    Dibujar un esquema de situación del problema: ayuda a imaginar y a emplear el razonamiento abstracto.

4)    Identificar y anotar los datos: es importante la información que nos brinda el enunciado, no solo valores numéricos.

5)    Comprender qué nos está pidiendo calcular (incógnita): además de poder decir “nos pide calcular …” es importante tener una idea de qué tipo de resultado esperamos obtener.

6)    Anotar los cálculos, e incluir una muy breve descripción: en este paso piensen en que otra persona que está usando su resolución de problemas para estudiar Matemática, es decir expliquen lo que están haciendo.

7)    Verificar los resultados: una vez calculada la incógnita es necesario verificar el resultado analizando los resultados obtenidos.

Actividad

Resolver los siguientes problemas aplicando los pasos vistos, en algunos casos no es necesario hacer el dibujo de situación.

1)    Florencia ahorra la sexta parte de su sueldo, gana $18000, cuántos meses tendrá que ahorrar para comprar una motocicleta que cuesta el doble de su sueldo.

2)    En un campo de 18 hectáreas, se utiliza un tercio de la superficie para la agricultura, 8 hectáreas a la cría de ganado, 1 hectárea para viviendas y graneros, el resto de la superficie corresponde a bosques. ¿Cuántas hectáreas boscosas tiene el campo?

3)    Un tanque de agua tiene una capacidad de 1000 litros, por la mañana se descarga la cuarta parte de su volumen, por la tarde un tercio de lo que quedaba. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque?

Lenguaje Algebraico y Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la cual no conocemos uno de sus términos. Resolver una ecuación implica obtener el valor desconocido, denominado incógnita. Dicha incógnita se suele escribir con una letra, puede ser cualquiera letra del abecedario, pero lo más común es utilizar la letra X.

Resolución de Ecuaciones

La forma de resolver las ecuaciones consiste en dejar “aislada” y de forma unitaria a la incógnita en uno de los lados de la igualdad, es indistinto derecho o izquierdo.

Es posible pasar términos de un lado al otro de la igualdad,

Ejemplos

a)    X + 5 = 8

En este caso nos damos cuenta que X = 3, pero veamos cómo llegar a ese valor paso a paso. Para poder despejar la incógnita tenemos que pasar el término +5 al otro lado. Para que se mantenga la igualdad cada término pasará con su operación opuesta, en este caso +5 pasará como -5.

X  = 8 - 5

X  = 3

b)    X - 4 + 1 = 5 - 3

Antes de comenzar el pasaje de términos vamos a resolver las sumas y restas en cada lado de la ecuación, recordemos que números se suman y restan con números, no mezclar con letras.

X - 4 + 1 = 5 - 3

X - 3 = 2

X = 2 + 3

X = 5

Actividad

Resolver las siguientes ecuaciones:

1)    X - 3 = 18 + 5

2)    8 - 5 = X  + 3

3)    12 - 5 + 3 - 9 + X  = 2

4)    X + (4- 5) x 8 = 12

5)    5 - (3 + 8) + X  = 21

Ecuaciones - Ejemplo

En la clase de hoy vamos a resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece más de una vez:

a)    3 + X = 18 - 2X

Juntamos las “X” de un lado y los números del otro:

X + 2X = 18 - 3                   

Operamos y resolvemos:

3X = 15

X = 15 /3

X = 5

b)    3 X + 2 X + 60 = X

3X + 2X - X= 60      

5X - X = 60

4X = 60

X = 60/4

X = 15

Actividad

Resolver las siguientes ecuaciones:

1)    X - 3 = 18 + 5 - X

2)    3 X + 2 X + 30 = 2X

3)    5 + 5X = 12 - 2X

4)    10 + (4 - 2) + X = 3X + 2

Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación constante entre diferentes magnitudes que se vayan a medir. Si una aumenta o disminuye la otra solo aumenta no disminuye.

Ejemplo 1

La receta de un budín de vainilla indica que para un de cuatro porciones se necesitan 200 gramos de harina, 160 gramos de manteca, 4 huevos, 120 gramos de azúcar, 12 gramos de polvo para hornear y 2 cucharaditas de esencia de vainilla.

●     ¿Hay una relación de proporcionalidad entre la cantidad de porciones y los ingredientes?

●     Calcular la receta para 5 porciones

●     Volver a calcular para 10 porciones.

Ejemplo 2

Un automóvil consume 10 litros de combustible cada 100 kilómetros que recorre.

●     ¿Hay una relación de proporcionalidad entre el consumo de combustible y la distancia recorrida?

●     ¿Habría proporcionalidad entre la cantidad de pasajeros y el consumo de combustible? ¿Por qué?

Ejemplo 3

Indicar si las siguientes son relaciones proporcionales, justificar.

●     La cantidad de energía eléctrica que consume una verdulería, mientras está abierta, respecto a las ventas.

●     Monto un emprendimiento en casa y hago pizzas, la cantidad de gas respecto a la unidades vendidas.

Ejemplo 4

Pensar dos ejemplos en los que haya una relación proporcional, y otros dos ejemplos donde no haya.